8.4 Conjuntos de confianza para múltiples coeficientes

Con base en el estadístico \(F\) que se ha encontrado anteriormente, se pueden especificar conjuntos de confianza. Los conjuntos de confianza son análogos a los intervalos de confianza para coeficientes únicos. Como tal, los conjuntos de confianza consisten en combinaciones de coeficientes que contienen la combinación verdadera de coeficientes en, digamos, \(95\%\) de todos los casos si se pudieran extraer repetidamente muestras aleatorias, como en el caso univariante. Dicho de otra manera, un conjunto de confianza es el conjunto de todas las combinaciones de coeficientes para las que no se puede rechazar la correspondiente hipótesis nula conjunta probada mediante una prueba \(F\).

El conjunto de confianza para dos coeficientes es una elipse que se centra alrededor del punto definido por ambas estimaciones de coeficientes. Nuevamente, existe una forma muy conveniente de graficar el conjunto de confianza para dos coeficientes de objetos del modelo, a saber, la función trustEllipse() del paquete car.

Ahora se grafica la elipse de confianza de \(95\%\) para los coeficientes de size y expenditure de la regresión realizada anteriormente. Al especificar el argumento adicional fill, se colorea el conjunto de confianza.

model <- lm(score ~ size + english + expenditure, data = CASchools)

# dibujar el conjunto de confianza del 95% para los coeficientes de size y expenditure
confidenceEllipse(model, 
                  fill = T,
                  lwd = 0,
                  which.coef = c("size", "expenditure"),
                  main = "95% Confidence Set")

Se puede ver que la elipse se centra alrededor de \((-0.29, 3.87)\), el par de coeficientes se estima en \(size\) y \(expenditure\). Además, \((0,0)\) no es un elemento del conjunto de confianza \(95\%\), por lo que se puede rechazar \(H_0: \beta_1 = 0, \ \beta_3 = 0\).

De forma predeterminada, trustEllipse() usa errores estándar de homocedasticidad solamente. El siguiente fragmento de código muestra cómo calcular una elipse de confianza robusta y cómo superponerla con la gráfica anterior.

# graficar el conjunto robusto de confianza del 95% para los coeficientes de size y expenditure.
confidenceEllipse(model, 
                  fill = T,
                  lwd = 0,
                  which.coef = c("size", "expenditure"),
                  main = "95% Confidence Sets",
                  vcov. = vcovHC(model, type = "HC1"),
                  col = "red")
                  
# graficar el conjunto de confianza del 95% para los coeficientes de size y expenditure.
confidenceEllipse(model, 
                  fill = T,
                  lwd = 0,
                  which.coef = c("size", "expenditure"),
                  add = T)

Como los errores estándar robustos son ligeramente mayores que los válidos bajo homocedasticidad, en este caso, solo el conjunto de confianza robusto es ligeramente mayor. Esto es análogo a los intervalos de confianza para los coeficientes individuales.