11.3 Regresión de efectos fijos

Considere el modelo de regresión de panel

$Y_{it} = \beta_0 + \beta_1 X_{it} + \beta_2 Z_i + u_{it}$

donde $Z_i$ son heterogeneidades invariantes en el tiempo no observadas entre las entidades $i=1,\dots,n$ . El objetivo es estimar $\beta_1$ , el efecto en $Y_i$ de un cambio en $X_i$ manteniendo constante $Z_i$ . Dejando $\alpha_i = \beta_0 + \beta_2 Z_i$ se obtiene el siguiente modelo:

$\begin{align} Y_{it} = \alpha_i + \beta_1 X_{it} + u_{it} \tag{11.1}. \end{align}$

Teniendo intersecciones específicas individuales $\alpha_i$ , $i=1,\dots,n$ , donde cada una de estas puede entenderse como el efecto fijo de la entidad $i$ , este modelo se llama modelo de efectos fijos.

La variación en $\alpha_i$ , $i=1,\dots,n$ proviene de $Z_i$ . (11.1) se puede reescribir como un modelo de regresión que contiene $n-1$ regresores ficticios y una constante:

$\begin{align} Y_{it} = \beta_0 + \beta_1 X_{it} + \gamma_2 D2_i + \gamma_3 D3_i + \cdots + \gamma_n Dn_i + u_{it} \tag{11.2}. \end{align}$

El modelo (11.2) tiene $n$ intersecciones diferentes — una para cada entidad. (11.1) y (11.2) son representaciones equivalentes del modelo de efectos fijos.

El modelo de efectos fijos se puede generalizar para que contenga más de un determinante de $Y$ que está correlacionado con $X$ y cambia con el tiempo. El Concepto clave 10.2 presenta el modelo de regresión de efectos fijos generalizados.

Concepto clave 10.2

El modelo de regresión de efectos fijos

El modelo de regresión de efectos fijos es

$\begin{align} Y_{it} = \beta_1 X_{1,it} + \cdots + \beta_k X_{k,it} + \alpha_i + u_{it} \tag{11.3} \end{align}$

con $i=1,\dots,n$ y $t=1,\dots,T$ . Los $\alpha_i$ son intersecciones específicas de entidades que capturan heterogeneidades entre entidades. Una representación equivalente de este modelo viene dada por

$\begin{align} Y_{it} = \beta_0 + \beta_1 X_{1,it} + \cdots + \beta_k X_{k,it} + \gamma_2 D2_i + \gamma_3 D3_i + \cdots + \gamma_n Dn_i + u_{it} \tag{11.4} \end{align}$

donde $D2_i,D3_i,\dots,Dn_i$ son variables ficticias.

Estimación e inferencia

Los paquetes de software utilizan el llamado algoritmo MCO “degradado por entidad” que es computacionalmente más eficiente que estimar modelos de regresión con $k + n$ regresores según sea necesario para los modelos (11.3) y (11.4).

Tomando promedios en ambos lados de (11.1) se obtiene:

$\begin{align*} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_{it} =& \, \beta_1 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_{it} + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n u_{it} \\ \overline{Y} =& \, \beta_1 \overline{X}_i + \alpha_i + \overline{u}_i. \end{align*}$

La resta de (11.1) produce:

$\begin{align} \begin{split} Y_{it} - \overline{Y}_i =& \, \beta_1(X_{it}-\overline{X}_i) + (u_{it} - \overline{u}_i) \\ \overset{\sim}{Y}_{it} =& \, \beta_1 \overset{\sim}{X}_{it} + \overset{\sim}{u}_{it}. \end{split} \tag{11.5} \end{align}$

En este modelo, la estimación de MCO del parámetro de interés $\beta_1$ es igual a la estimación obtenida usando (11.2) — sin la necesidad de estimar $n-1$ ficticias y una intersección.

Se concluye que existen dos formas de estimar $\beta_1$ en la regresión de efectos fijos:

MCO del modelo de regresión ficticia como se muestra en (11.2)
MCO usando los datos degradados de la entidad como en (11.5)

Siempre que se cumplan los supuestos de regresión de efectos fijos establecidos en el Concepto clave 10.3, la distribución muestral del estimador de MCO en el modelo de regresión de efectos fijos es normal en muestras grandes. La varianza de las estimaciones puede estimarse y se pueden calcular errores estándar, estadísticos $t$ e intervalos de confianza para los coeficientes. En la siguiente sección, se ve cómo estimar un modelo de efectos fijos usando R y cómo obtener un resumen del modelo que reporta errores estándar robustos a la heterocedasticidad. Dejando de lado las complicadas fórmulas de los estimadores.

Aplicación a muertes por accidentes de tráfico

Siguiendo el Concepto clave 10.2, el modelo simple de efectos fijos para la estimación de la relación entre las tasas de accidentes de tránsito y los impuestos a la cerveza es

$\begin{align} \text{Tasa de fatalidad}_{it} = \beta_1 \text{Impuesto a la cerveza}_{it} + \text{Efectos fijos estatales} + u_{it}, \tag{11.6} \end{align}$

una regresión de la tasa de mortalidad por accidentes de tráfico en el impuesto a la cerveza y 48 regresores binarios, uno para cada estado federal.

Simplemente se puede usar la función lm() para obtener una estimación de $\beta_1$ .

fatal_fe_lm_mod <- lm(fatal_rate ~ beertax + state - 1, data = Fatalities)
fatal_fe_lm_mod
#> 
#> Call:
#> lm(formula = fatal_rate ~ beertax + state - 1, data = Fatalities)
#> 
#> Coefficients:
#> beertax  stateal  stateaz  statear  stateca  stateco  statect  statede  
#> -0.6559   3.4776   2.9099   2.8227   1.9682   1.9933   1.6154   2.1700  
#> statefl  statega  stateid  stateil  statein  stateia  stateks  stateky  
#>  3.2095   4.0022   2.8086   1.5160   2.0161   1.9337   2.2544   2.2601  
#> statela  stateme  statemd  statema  statemi  statemn  statems  statemo  
#>  2.6305   2.3697   1.7712   1.3679   1.9931   1.5804   3.4486   2.1814  
#> statemt  statene  statenv  statenh  statenj  statenm  stateny  statenc  
#>  3.1172   1.9555   2.8769   2.2232   1.3719   3.9040   1.2910   3.1872  
#> statend  stateoh  stateok  stateor  statepa  stateri  statesc  statesd  
#>  1.8542   1.8032   2.9326   2.3096   1.7102   1.2126   4.0348   2.4739  
#> statetn  statetx  stateut  statevt  stateva  statewa  statewv  statewi  
#>  2.6020   2.5602   2.3137   2.5116   2.1874   1.8181   2.5809   1.7184  
#> statewy  
#>  3.2491

Como se discutió en la sección anterior, también es posible estimar $\beta_1$ aplicando MCO a los datos degradados; es decir, para ejecutar la regresión:

$\overset{\sim}{\text{Tasa de fatalidad}} = \beta_1 \overset{\sim}{\text{Impuesto a la cerveza}}_{it} + u_{it}.$

# obtener datos degradados
Fatalities_demeaned <- with(Fatalities,
            data.frame(fatal_rate = fatal_rate - ave(fatal_rate, state),
            beertax = beertax - ave(beertax, state)))

# estimar la regresión
summary(lm(fatal_rate ~ beertax - 1, data = Fatalities_demeaned))

La función ave es conveniente para calcular promedios de grupo. Se usa para obtener promedios estatales específicos de la tasa de mortalidad y el impuesto a la cerveza.

Alternativamente, se puede usar plm() del paquete con el mismo nombre.

# instalar y cargar el paquete 'plm'
## install.packages("plm")
library(plm)

En cuanto a lm(), se tiene que especificar la fórmula de regresión y los datos que se utilizarán en la llamada de plm(). Además, se requiere pasar un vector con los nombres de cada entidad y variables de identificación de tiempo al argumento index. Para Fatalities, la variable de identificación de las entidades se denomina state y la variable de identificación de tiempo es year. Dado que el estimador de efectos fijos también se denomina estimador interno, se establece model = “within”. Finalmente, la función coeftest() permite obtener inferencias basadas en errores estándar robustos.

# estimar la regresión de efectos fijos con plm()
fatal_fe_mod <- plm(fatal_rate ~ beertax, 
                    data = Fatalities,
                    index = c("state", "year"), 
                    model = "within")

# imprimir resumen usando errores estándar robustos
coeftest(fatal_fe_mod, vcov. = vcovHC, type = "HC1")
#> 
#> t test of coefficients:
#> 
#>         Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
#> beertax -0.65587    0.28880  -2.271  0.02388 *
#> ---
#> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

El coeficiente estimado es de nuevo $-0.6559$ . Se debe tener en cuenta que plm() utiliza el algoritmo MCO degradado por entidad y, por lo tanto, no informa coeficientes ficticios. La función de regresión estimada es

$\begin{align} \widehat{\text{Tasa de fatalidad}} = -\underset{(0.29)}{0.66} \times \text{Impuesto a la cerveza} + \text{Efectos fijos estatales}. \tag{11.7} \end{align}$

El coeficiente de $\text{Impuesto a la cerveza}$ es negativo y significativo. La interpretación es que la reducción estimada en las muertes por accidentes de tránsito debido a un aumento en el impuesto real a la cerveza en $\$1$ es de $0.66$ por $10000$ personas, lo que sigue siendo bastante alto. Si bien la inclusión de efectos fijos estatales elimina el riesgo de sesgo debido a factores omitidos que varían entre los estados, pero no a lo largo del tiempo, se sospecha que hay otras variables omitidas que varían con el tiempo y, por lo tanto, causan un sesgo.