3.3 Ejercicios
1. Muestreo
Suponga que usted es el hada de la lotería en una lotería semanal, donde se extraen \(6\) de \(49\) números únicos.
Instrucciones:
- Trazar los números ganadores de esta semana.
Sugerencias:
Puede usar la función sample() para trazar números aleatorios, vea ?Sample.
El conjunto de elementos a muestrear desde aquí es \(\{1,...,49\}\).
2. Función de densidad de probabilidad
Considere una variable aleatoria \(X\) con función de densidad de probabilidad (FDP)
\[f_X(x)=\frac{x}{4}e^{-x^2/8},\quad x\geq 0.\]
Instrucciones:
Definir la FDP desde arriba como una función f(). exp(a) calcular \(e^a\).
Comprobar si la función que se ha definido es realmente una FDP.
Sugerencias:
Usar function(x) {…} para definir una función que toma el argumento x.
Para que f() sea una FDP, su integral en todo el dominio tiene que ser igual a 1: \(\int_0^\infty f_X(x)\mathrm{d}x=1\).
La función integrate() realiza la integración. Debe especificar la función a integrar, así como los límites superior e inferior de integración. Estos se pueden establecer en \([- \infty, \infty]\) estableciendo los argumentos correspondientes en -Inf e Inf. Puede acceder al valor numérico de la integral calculada agregando $value. Consulte ?Integral para obtener una descripción detallada de la función.
3. Valor esperado y variación
En este ejercicio debe calcular el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria \(X\) considerada en el ejercicio anterior.
La FDP f() del ejercicio anterior está disponible en su entorno de trabajo.
Instrucciones:
Definir una función adecuada ex() que se integre al valor esperado de \(X\).
Calcular el valor esperado de \(X\). Almacene el resultado en expected_value.
Definir una función adecuada ex2() que se integre al valor esperado de $ X^2 $.
Calcular la varianza de \(X\). Almacene el resultado en variance.
Sugerencias:
El valor esperado de \(X\) se define como \(E(X)=\int_0^\infty xf_X(x)dx\).
El valor de una integral calculado por integrate() se puede obtener a través de $value.
La varianza de \(X\) se define como \(Var(X)=E(X^2)-E(X)^2\), donde \(E(X^2)=\int_0^\infty x^2f_X(x)\mathrm{d}x\).
4. Distribución normal estándar I
Sea \(Z\sim\mathcal{N}(0, 1)\).
Instrucciones:
- Calcular \(\phi(3)\), es decir, el valor de la densidad normal estándar en \(c=3\).
Sugerencias:
- Valores de \(\phi(\cdot)\) se puede calcular usando dnorm(). Tenga en cuenta que por defecto dnorm() usa mean = 0 y sd = 1 por lo que no es necesario establecer los argumentos correspondientes cuando desee obtener valores de densidad de la distribución normal estándar.
5. Distribución normal estándar II
Sea \(Z\sim\mathcal{N}(0, 1)\).
Instrucciones:
- Calcular \(P(|Z|\leq 1.64)\) usando la función pnorm().
Sugerencias:
\(P(|Z|\leq z) = P(-z \leq Z \leq z)\).
Probabilidades de la forma \(P(a \leq Z \leq b)\) se puede calcular como \(P(Z\leq b)-P(Z\leq a)=F_Z(b)-F_Z(a)\) with \(F_Z(\cdot)\) la función de distribución acumulativa (FDPA) de \(Z\). Alternativamente, puede aprovechar la simetría de la distribución normal estándar.
6. Distribución normal I
Sea \(Y\sim\mathcal{N}(5, 25)\).
Instrucciones:
- Calcular el cuantil del 99% de la distribución dada, es decir, encontrar \(y\) tal que \(\Phi(\frac{y-5}{5})=0.99\).
Sugerencias:
Se pueden calcular cuantiles de la distribución normal utilizando la función qnorm().
Además del cuantil a calcular, se debe especificar la media y la desviación estándar de la distribución. Esto se hace mediante los argumentos mean y sd. Se debe tener en cuenta que sd establece la desviación estándar, no la varianza.
sqrt(a) devuelve la raíz cuadrada del argumento numérico a.
7. Distribución normal II
Sea \(Y\sim\mathcal{N}(2, 12)\).
Instrucciones:
- Generar \(10\) números aleatorios a partir de esta distribución.
Sugerencias:
Usar rnorm() para extraer números aleatorios de una distribución normal.
Además del número de sorteos, se debe especificar la media y la desviación estándar de la distribución. Esto se puede hacer a través de los argumentos mean y sd. Se debe tener en cuenta que sd requiere la desviación estándar, no la varianza.
8. Distribución chi-cuadrado I
Sea \(W\sim\chi^2_{10}\).
Instrucciones:
- Trazar la FDP correspondiente usando curve(). Especificar el rango de valores x como \([0,25]\) a través del argumento xlim.
Sugerencias:
curve() espera una función y sus parámetros como argumentos (aquí dchisq() y los grados de libertad df).
El rango de valores x en xlim se puede pasar como un vector de límites de intervalo.
9. Distribución de chi-cuadrado II
Sea \(X_1\) y \(X_2\) ser dos variables aleatorias independientes normalmente distribuidas con \(\mu=0\) y \(\sigma^2=15\).
Instrucciones:
- Calcular \(P(X_1^2+X_2^2>10)\).
Sugerencias:
- Se debe tener en cuenta que \(X_1\) y \(X_2\) no son \(\mathcal{N}(0,1)\), pero \(\mathcal{N}(0,15)\) repartido. Por lo tanto, debe escalar adecuadamente. Luego puede usar pchisq() para calcular la probabilidad.
- El argumento lower.tail puede resultar útil.
10. Distribución t de Student I
Sea \(X\sim t_{10000}\) y \(Z\sim\mathcal{N}(0,1)\).
Instrucciones:
- Calcular el cuantil \(95\%\) de ambas distribuciones. ¿Que notaste?
Sugerencias:
Puede usar qt() y qnorm() para calcular cuantiles de las distribuciones dadas.
Para la distribución \(t\) se deben especificar los grados de libertad df.
11. Distribución t de Student II
Sea \(X\sim t_1\). Una vez que se haya inicializado la sesión, se verá el gráfico de la función de densidad de probabilidad (FDP) correspondiente.
Instrucciones:
Generar números aleatorios de \(1000\) a partir de esta distribución y asígnar a la variable x.
Calcular la media muestral de x. ¿Puede explicar el resultado?
Sugerencias:
Puede usar rt() para dibujar números aleatorios de una distribución t.
Se debe tener en cuenta que la distribución t está completamente determinada a través de los grados de libertad. Especificarlos mediante el argumento df.
Para calcular la media muestral de un vector, se puede usar la función mean().
12. F Distribución I
Sea \(Y\sim F(10, 4)\).
Instrucciones:
- Graficar la función cuantil de la distribución dada usando la función curve().
Sugerencias:
- curve() expectativa de la función con sus respectivos parámetros (aquí: grados de libertad df1 y df2) como argumento.
13. F Distribución II
Sea \(Y\sim F(4,5)\).
Instrucciones:
- Calcular \(P(1<Y<10)\) mediante la integración de la FDP.
Sugerencias:
Además de proporcionar la función que se va a integrar, se deben especificar los límites superior e inferior de integración.
Los parámetros adicionales de la distribución (aquí df1 y df2) también deben pasarse dentro de la llamada de integrate().
El valor de la integral se puede obtener mediante $value.