16.3 Multiplicadores dinámicos y multiplicadores dinámicos acumulativos
La siguiente terminología respecto a los coeficientes en el modelo de retardo distribuido (16.2) es útil para las próximas aplicaciones:
El efecto causal dinámico también se denomina multiplicador dinámico. \(\beta_{h+1}\) en (16.2) es el multiplicador dinámico del periodo \(h\).
El efecto contemporáneo de \(X\) sobre \(Y\), \(\beta_1\), se denomina efecto de impacto.
El multiplicador dinámico acumulativo del período \(h\) de un cambio de unidad en \(X\) y \(Y\) se define como la suma acumulativa de los multiplicadores dinámicos. En particular, \(\beta_1\) es el multiplicador dinámico acumulativo de período cero, \(\beta_1 + \beta_2\) es el multiplicador dinámico acumulativo de un período y así sucesivamente.
Los multiplicadores dinámicos acumulativos del modelo de retardo distribuido (16.2) son los coeficientes \(\delta_1,\delta_2,\dots,\delta_r,\delta_{r+1}\) en la regresión modificada \[\begin{align} Y_t =& \, \delta_0 + \delta_1 \Delta X_t + \delta_2 \Delta X_{t-1} + \dots + \delta_r \Delta X_{t-r+1} + \delta_{r+1} X_{t-r} + u_t \tag{16.3} \end{align}\] y, por lo tanto, se pueden estimar directamente utilizando MCO, lo que hace que sea conveniente calcular sus errores estándar de HAC. \(\delta_{r+1}\) se denomina multiplicador dinámico acumulativo de largo plazo.
Es sencillo calcular los multiplicadores dinámicos acumulativos para (16.1), la regresión de retardo distribuida estimada de los cambios en los precios del concentrado de jugo de naranja en grados-día de congelación, utilizando el objeto modelo correspondiente orange_DLM y la función cumsum().
# calcular multiplicadores acumulativos
cum_mult <-cumsum(orange_DLM$coefficients[-1])
# cambiar el nombre de las entradas
names(cum_mult) <- paste(0:6, sep = "-", "period CDM")
cum_mult
#> 0-period CDM 1-period CDM 2-period CDM 3-period CDM 4-period CDM 5-period CDM
#> 0.4714329 0.6164542 0.6748177 0.7489835 0.7852874 0.8340436
#> 6-period CDM
#> 0.8842895Al traducir el modelo de rezago distribuido con seis rezagos de \(FDD\) a (16.3), se puede ver que las estimaciones del coeficiente de MCO en este modelo coinciden con los multiplicadores almacenados en cum_mult.
# estimar multiplicadores dinámicos acumulativos usando la regresión modificada
cum_mult_reg <-dynlm(FOJC_pctc ~ d(FDD) + d(L(FDD,1:5)) + L(FDD,6))
coef(cum_mult_reg)[-1]
#> d(FDD) d(L(FDD, 1:5))1 d(L(FDD, 1:5))2 d(L(FDD, 1:5))3 d(L(FDD, 1:5))4
#> 0.4714329 0.6164542 0.6748177 0.7489835 0.7852874
#> d(L(FDD, 1:5))5 L(FDD, 6)
#> 0.8340436 0.8842895Como se señaló anteriormente, el uso de una especificación de modelo como en (16.3) permite obtener fácilmente errores estándar para los multiplicadores acumulativos dinámicos estimados.
# obtener un resumen de coeficientes que informe los errores estándar de HAC
coeftest(cum_mult_reg, vcov. = vcovHAC)
#>
#> t test of coefficients:
#>
#> Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
#> (Intercept) -0.69296 0.23668 -2.9278 0.0035431 **
#> d(FDD) 0.47143 0.13583 3.4709 0.0005562 ***
#> d(L(FDD, 1:5))1 0.61645 0.13145 4.6896 3.395e-06 ***
#> d(L(FDD, 1:5))2 0.67482 0.16009 4.2151 2.882e-05 ***
#> d(L(FDD, 1:5))3 0.74898 0.17263 4.3387 1.682e-05 ***
#> d(L(FDD, 1:5))4 0.78529 0.17351 4.5260 7.255e-06 ***
#> d(L(FDD, 1:5))5 0.83404 0.18236 4.5737 5.827e-06 ***
#> L(FDD, 6) 0.88429 0.19303 4.5810 5.634e-06 ***
#> ---
#> Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1